旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では大阪大学の2017年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の阪大理系数学 -2017年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
放物線に関する面積の問題です。
平方完成すればqがb,cの式で計算できるので、x軸との交点を調べて積分するだけです。
<筆者の回答>
第2問
3変数関数の最大最小を考える問題です。
2つの方程式からx,yがともにzだけの式で書けるので、(1)(2)ともにzだけの式に直して考えればよいでしょう。
(1)は有名な3次式で,
x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z) (x^2+y^2+z^2 -xy-yz-zx) と因数分解できることがよく知られています。
この因数分解を駆使してzだけの式にしていくと、zの2次関数に落ち着くので平方完成で最小値が求まります。
(2)も同様にzだけの式にするとzの3次関数になりますので、微分して増減を調べましょう。増減表を書くと最大値の候補が2つ出てきますが、z=0,2,3の3点でxyzが0になることが分かれば候補を絞ることができます。
（これに気付かずに極大値を実際に計算してもよいですが、計算が面倒です）
<筆者の回答>
第3問
漸化式の問題です。
(1)(2)は、漸化式を見れば言われなくともそうするよ、というレベルのテンプレ変換です。an>0となって真数条件をクリアできていることは軽く触れておくとよいでしょう。
(3) Pnで同じように対数を取れば、bnの和を実質考えればよいことになります。
(4) logPn >100/log2 を考えればOKなのでlog2の値を評価しましょう。（対数は常用対数とします）log2 =0.301という近似値が良く知られていますが、問題文で言及されていないので安易に使わないほうが良いです。
log2の評価方法ですが、2^3 <10<2^4、2^6<10<2^7などの関係を使って評価できます。結果論ではありますが、今回の問題ではある程度ガバガバな評価でも十分です。
あとは、logPnが単調増加なので、n=1,2,3,・・・と順番に調べていけばよいでしょう。
<筆者の回答>
