旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では九州大学の2017年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の九大理系数学 -2017年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
放物線の共通接線と、それによって囲まれる面積を求める問題です。
(1)共通接線をy=px+qとおいて、C1,C2のそれぞれの式と連立したときに重解を持つ条件を考えてあげればよいでしょう。
(2) 2本の共通接線とC1,C2はx軸対称なので、x≧0だけ考えてあげれば十分です。接点の座標を計算して積分で面積を計算しましょう。
<筆者の回答>
第2問
座標平面上の正三角形に関する問題です。
(1)OAを原点の周りに±60°回転させてあげるとBが作れますので、加法定理を使ってs,tを計算してあげましょう。
(2) (3)の準備のための問題です。教科書の「√2が無理数であることを証明せよ」と全く同じ流れで証明できます。有理数だと仮定して矛盾を導きます。
(3) a=tanθと書いてあげると、(1)と同様にs,tをaの式で求めることができます。このとき、s,tが両方有理数だと仮定して矛盾を導きます。aというよく分からない数が混じっているのでaを消去してあげるとよいでしょう。
矛盾を導くポイントは、「t≠0だと√3が有理数になってしまう」「t=0だとaがうまく出てこない」の2点です。
最初、冒頭に書いた誤植を知らないまま書いたのでこのような回答になっていますが、aが有理数ならtが無理数で確定なので、もっと簡単に証明できました。
解答を見てわかる通り、aが有理数か無理数かに一切触れることなく証明ができています。よって、aが無理数だったとしても題意は成り立ってしまうのです。
<筆者の回答>
第3問
確率の問題です。
(1) n回以下で決着しないのはn回連続で2以下しか出ないときなので、pnは簡単に求まります。0.005未満になるnについては、常用対数を使って調べればよいです。
(2) Aの番は奇数回目の時だけなので、1回目に勝つ場合と3回目に勝つ場合を考えればよいです。
(3) (2)と同じように、2m+1回目に勝つ確率を計算して和を取ればよいでしょう。
kを無限大に大きくすると、Aの勝つ確率が3/4とわかり先攻が圧倒的に有利なことが分かります。当然ですよね。
<筆者の回答>
第4問
整数問題です。
(1) 最大公約数は、ユークリッドの互除法を使って求めます。最も、今回登場している2017が素数だと知っていれば、答えが1だとすぐに分かってしまうわけですが（笑)
(2) 225との最大公約数が15になる整数Aは、225=15^2に注意すると、15と互いに素な自然数aを使ってA=15aと書くことができます。
aは3でも5でも割り切れない自然数で、A≦2017なので、1≦a≦134という制限があります。
要するに、「1~134の中で3でも5でも割り切れない整数の個数を調べろ」という問題に化けるわけです。
3の倍数の個数、5の倍数の個数、15の倍数の個数を調べることで求めることができます。
(3) 1998=111×18に注意すると、(2)のAはA=111bとも書けることが分かります。ただし、bは18と互いに素な自然数です。
(2)の結果と合わせることでa,bの値に制限がかかってA=555k の形に書くことができます。ただしkは2でも3でも5でも割り切れない整数です。
A≦2017という縛りからkの値は相当限られます。
<筆者の回答>
