旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東京大学の2013年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東大理系数学 -2013年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
3次関数と直線の交点に関する問題です。
OP=(p, tp), OQ=(q, tq) とおいて、p,qの満たす関係式を求めてg(t)を計算すればよいでしょう。極小値が2つ出てくることに要注意です。
<筆者の回答>
第2問
（筆者注：Qのy座標は√2の誤り）
辺の長さの差、和が一定値になることを証明する問題です。
(1)PA-AQを素直に計算しますが、2重根号をうまく外せることに気付けたでしょうか？
理系で習う範囲になりますが、Aの軌跡は双曲線となり、PとQはその双曲線の焦点となっています。双曲線とは「焦点からの距離の差が一定になる曲線」なので、(1)の結果は双曲線の性質から明らかだったわけです。
(2) (1)の結果を使えば、実質QB+BCが一定になることを証明する問題となります。Bの座標を文字で置いてQB, BCを計算しましょう。
QB+BCが一定になるという性質も、実は図形の性質から明らかなのです。これもまた理系で習う範囲ですが、放物線y=√2/8x^2の焦点がQとなり、準線がy=-√2となることを利用すれば証明することができます。（放物線=焦点と準線から等距離にある点の軌跡、です）
詳しくは答案の補足をお読みいただければと思います。
<筆者の回答>
第3問
関数の最小値を求める問題です。場合分けが非常に煩雑な難問で、文系では捨て問確定でしょう。
まず、問題文にある不等式の表す領域をDとして、Dを図示しましょう。
次にzの式は、平方完成すると中心(a,b)、半径√(z+a^2+b^2) の円になることが分かります。
ここまでの情報から、この円がDと交点を持つzの最小値を求めればよいことになります。
ところが、円の中心(a,b)がどこにいるのかで、Dと円の接し方が変化するので場合分けが必要になります。具体的には、以下のような場合分けです。
1. (a,b)がDの中にいるとき
2. 円が、Dの円弧の部分と接するとき
3. 円が、Dの直線部分と接するとき
4. 円が、Dの尖った部分と接するとき
上記4通りを、図を描いて丁寧に検討しないといけません。1は簡単ですが、2以降は難しいです。特に2,3,4の境界線がどこになるかの見極めが面倒です。
<筆者の回答>
第4問
理系第3問との共通問題で、理系の(2)が省略されています。(1)だけでも十分難問だと思います。
詳しくは理系の記事をご覧ください。
