旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では名古屋大学の2013年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の名古屋大理系数学 -2013年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
三角形の面積を最大化する問題です。
最初にA(1,0)となるように座標を取るとよいでしょう。
すると、問題文の条件からP(cost, sint), Q(2cos(t/2), 2sin(t/2) )と書くことができるので、ここから△APQの面積の2乗をcos(t/2)の4次式として計算することができます。
あとは、T=cos(t/2)と変数変換すれば微分して増減を調べることができますが、Tの範囲に注意です。
答えが2重根号になることを避けるために面積の2乗を考えさせたんだと思いますね。
<筆者の回答>
第3問
理系第3問との共通問題で、(3)だけ異なっています。(理系では、一般のmについてSm(p-1)がpの倍数であることを証明させる問題です）
文系の問題では、m=1,2,3,4に限定されているので考えやすくなっています。
Σの公式から、m=1,2,3の場合はpの倍数になることはすぐに分かるので、(2)までで証明した式を使ってm=4の場合を証明しましょう。
<筆者の回答>
