旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東京大学の2012年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東大理系数学 -2012年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
陰関数における変数の取りうる値を求める問題です。
x=の形にしてyを動かすというのが常套手段ですが、今回の場合は式が複雑になりx=の式の増減を調べるのが難しいです。
ここは、通過領域の問題でも使う「逆像法」という考え方を使います。具体的には、「与式を満たす実数yが存在するような、xの条件を求める」ということです。
与式がyの2次方程式と見なせるので、この2次方程式が実数解を持つようなxの条件を求めてあげましょう。
余談ですが、与式はxy平面に描くと楕円になります。
<筆者の回答>
第2問
図形問題です。
∠ACO=∠BCDという条件があり、光の反射を考える問題と類似しています。
光の反射を考えるときは、対称移動した点を考えるとよいでしょう。Dをx軸に対して対称移動した点をD'とすると、A,C,D'は一直線上に並ぶことになります。これを利用してDの座標を求めましょう。
最後の面積についてはtの分数関数になります。理系であれば即微分という方法がありますが、文系の場合はそうもいかないので、なんとか相加相乗平均を使える形に式変形してあげるとよいでしょう。
<筆者の回答>
第3問
理系第2問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
放物線の接線に関する問題です。
(1)接線の式をy=m(x-s)+tとおいて、Cの式と連立した2次方程式が重解を持つmを求めましょう。
(2) 2接線の交点を求めて積分すると面積がs,tの式で求まるので、s,tの関係式が求まります。ただ、それで終わりにしてはいけません。t<0という条件があるので、実際にはa,sの値に制限が入ります。そこまで検討しないといけません。
<筆者の回答>
