旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東北大学の2012年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -2012年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
放物線の法線に関する問題です。
(1)l,mの式を求める→交点の座標を求める→放物線の式に代入 という流れでaの方程式を解いていきます。
(2)図に描いて面積を計算します。
<筆者の回答>
第2問
絶対値付きの三角関数の最大最小を考える問題です。
(1) t^2を計算することで、xの式を全てtの式に置き換えることができます。
(2)三角関数の合成を使います。値の範囲は、単位円を描いて調べると間違いがないです。
(3) f(x) = g(t)としてg(t)のグラフを描けば最大値と最小値が分かりますが、最大値は候補が2つあるので大小評価をきちんとしないといけません。
xの範囲については、実質sin15°と1/4の大小を比較する問題です。sin15°は半角の公式を使うと計算できるのですが、√が2個もあって、大小比較が面倒です。
<筆者の回答>
第3問
理系第3問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
ベクトルの絶対値について取りうる値を検討する問題です。(1)はともかく、(2)はかなりハードな問題です。
(1) |c|=1, a・c=0という2つの条件からできるp,qの式を連立してあげましょう。残念ながら、(2)にはあまり役に立ちません。。
(2)は難問だと思います。
x= sa+tbと置くことからスタートし、s,tの条件を検討していきます。
与えられた2つの内積の不等式から、(s,t)の存在範囲を図にまとめることができます。
ここから、sを固定したときに|x|^2の値の取りうる範囲を、tを動かして考えていきます。
先に描いた(s,t)の存在範囲からtの範囲をsの式で書くことができますので、sの値で場合分けして|x|^2の値の取りうる範囲を調べましょう。
あとは、sを横軸にして|x|^2の範囲をグラフにまとめて、最小値と最大値を探せばよいです。
<筆者の回答>
