旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東北大学の2010年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -2010年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
不等式証明の問題です。
(1) f(x)=x^3を使って具体的に両辺を計算してあげましょう。
(2) これもf(x)=x^3をつかって右辺を力ずくで計算して調べることができます。最終的にx+y+b<0がいつでも成り立つので、x+y+bの上限値b+b+b=3bが0以下であればよいと分かります。
別解としては、右辺の式をよく見ると、B(b, f(b) )とY(y, f(y) )を結んだ線分のx座標がxにおけるy座標だと分かるので、線分BYとX(x, f(x) )の上下関係に着目して解く、という方法です。問題文の不等式が成り立つときは、グラフが上に凸の時でないといけないので、y=x^3のうち、上に凸の区間、b≦0が答えになります。
今回の問題の場合は、f(x)が単純な3次式だったので力ずくでの回答が可能でしたが、複雑な関数だった場合にその方法が使えなくなってしまいます。
なので、凹凸さえわかっていればf(x)がいかに複雑な関数であろうとも解くことができるのが別解のやり方です。
<筆者の回答>
第2問
放物線の法線に関する問題です。
(1) 条件を満たすように傾きを計算してあげましょう。a=0だけ例外扱いです。
(2) x=a上の点Q(a,q)を対称移動してR(X,Y)に移るとして、Rの軌跡を求めましょう。対称移動については、QRの傾きがlと垂直、QRの中点がl上にある、という2つの条件を処理します。
(3) (2)の答えから明らかですね。「示せ」と言われても、「見れば分かるじゃん！」と言いたくなります。
<筆者の回答>
第3問
確率の問題です。
表が2枚出る現象Aがa回、裏が2枚出る現象Bがb回、表裏が1枚ずつでる現象がc回起こるとすると、a+b+c=n, Sn = a-bとなります。
(1)(2)上記の関係式を満たすa,b,cの組み合わせを調べましょう。
(3) i=2a+cとなります。
(4) (3)をヒントにするとi=n+kになる状況を考えればよいことになります。要するに2n枚のコインのうちn+k枚が表、n-k枚が裏になる確率を計算すればよいことになります。
<筆者の回答>
第4問
理系第4問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。理系でもかなりきつめの問題です。
