旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では北海道大学の2009年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の北大理系数学 -2009年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
4次方程式の解に関する問題です。
(1)ド・モアブルの定理を使うと、γの累乗が簡単に求まるので、P(γ)=0にそれぞれ代入して、実部=0, 虚部=0を考えればよいでしょう。
(2) γがP(x)=0の解なら、複素共役γ*もP(x)=0の解です。これによって、P(x)がx^2-2x+4で割り切れることが分かります。これを利用して残りの解も求めることができます。
<筆者の回答>
第2問
格子点の個数を調べる問題です。
(1)x=kとDの共通部分の範囲を調べるとよいでしょう。
(2) f(k)をk=0,・・,nで和を取れば格子点の総数が求まります。
(3) f(k)はkの2次関数なので平方完成して考えましょう。nの偶奇による場合分けが発生します・
<筆者の回答>
第3問
点の配置と面積を考える問題です。
(1)P,Q,Rが一直線上に並ぶとき、PQベクトルとPRベクトルは平行になります。
(2)面積はPQベクトルとPRベクトルを使って計算できて、tの3次関数になります。微分して増減を調べましょう。
<筆者の回答>
第4問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
