旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2008年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2008年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
積分を使った不等式の問題です。
左辺と右辺の積分を力ずくで計算して、右辺-左辺≧0を確かめる流れです。
積分区間が符号違いの対称な形をしているので、奇関数の積分が0になることを利用すれば楽できます。
<筆者の回答>
第2問
図形の証明問題です。
CMが∠ACNの角の2等分線になっていることを言いたいので、CM:CN=MB:BNが証明できればOKです。余弦定理を使ってCM, CNを計算してみましょう。
<筆者の回答>
第3問
4次方程式の解の個数を調べる問題です。
既に2次方程式の積に分解されているので、その各々について解の個数を調べればよいでしょう。ただし、両者が共通の解を持つ場合があることに注意する必要があります。
<筆者の回答>
第4問
三角関数の解の個数を調べる問題です。
誘導がなく初手には経験が要りますが、この手の問題はt=sinx+cosxと置換するのが基本です。このtを使えばtの3次方程式に焼き直すことができます。
tの範囲を調べたうえで、この3次関数の増減を調べてあげれば、方程式を満たすtの個数を知ることができます。ただし、tとxが必ずしも1対1対応をしておらず、1個のtに対してxが2つ対応することに要注意です。
<筆者の回答>
第5問
一筆書きの経路数を考える問題です。今までにないタイプの問題で難しいです。
一筆書きを考えるので、基本的にはFを2周することになります。最初に反時計回りに進むか時計回りに進むかで、まず2通り発生します。そして、1周目の段階では各頂点につく度に道が二股に分かれているので、どの道を選ぶのかで2通りずつあります。2周目では、1周目に通らなかった道を通ればよいことになります。
基本的な考え方は上記です。
ここで、2点以上折り返し地点があるとループになってしまい一筆書きになりません。よって折り返し地点はあっても1点までです。折り返しがない場合とある場合とで場合分けしてそれぞれ考えましょう。
Aに比べてBは少し状況が複雑になります。
<筆者の回答>
