旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2007年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2007年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
小問集合です。
(1) 文系なのに「行列」が出題されるんですね。。ケーリーハミルトンの定理を使ってA^2をAとEで表現して与式に代入する、という典型問題です。
(2)確率の問題です。「PがOにいる状態」と「PがA~Dのどれかにいる状態」の移り方を調べて確率漸化式を立てればよいでしょう。
<筆者の回答>
第2問
回転体の体積の問題です。
3次関数とlで囲まれる部分を、方程式を解いて調べて積分しましょう。3次関数の細かな増減を調べずとも体積を出すには十分です。
積分は6次式の積分になりますが、力ずくでやるしかありません。
<筆者の回答>
第3問
理系第3問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
空間上の、ねじれの関係にある2直線の距離を調べる問題です。
条件に従ってP,Qの座標を文字で表現して、PQ^2を計算しましょう。最小値が知りたいので、平方完成で処理すればよいです。
<筆者の回答>
第5問
命題の真偽判定の問題です。実はpはqの誘導になっています。
(p) 「あるnに対して」という表現が分かりにくいので、
「√nと√n+1が両方有理数になるようなnが存在する」と言い換えるとよいでしょう。
直感的にそんなnはなさそうに思えるので、背理法で「pは正しくない」を証明すれば良さそうです。
√nが有理数なら、√nは整数、つまりnは平方数だと証明することができるので、nとn+1が両方平方数にならないことを証明すればOKです。
(q) こちらも背理法で処理します。
√n+1- √nが有理数だと仮定すると、両辺に√n+1+ √nをかけてあげれば√n+1+ √nも有理数だと分かります。この2つの結果から、√nと√n+1が両方有理数になります。これは命題(p)そのものですね。(p)が不成立なことは証明済みなので、矛盾が導けました。
<筆者の回答>
