旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では九州大学の2001年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の九大理系数学 -2001年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
理系第2問との共通問題で、(3)以降が文系オリジナルです。
(3)求める点が(X'', Y'')だとすると、2点間の傾きが0、かつ中点がx=p上にあるという2つの条件から求められます。
(4) (X,Y)と(X'', Y'')が常にG上にあるようなpがあるか否かを調べます。式を整理すると、どうあがいてもXの恒等式にならない形になります。
<筆者の回答>
第3問(a)
漸化式に関する問題です。
(1) 漸化式の右辺を平方完成すればすぐに示せます。
(2) 数学的帰納法で示すとよいでしょう。
(3) (2)の式を使って計算していきましょう。
(4) (3)の結果から答えが予想できるので、それを帰納法で証明します。
<筆者の回答>
第3問(b)
整数問題です。
(1) 「互いに素」の定義を答えます。最大公約数が1になることが、「互いに素」です。
(2) a,bの時点で2以上の公約数がないので、2乗したところで公約数が湧くことはありません。
(3) √n = p/q (p,qは互いに素な自然数) とおいて、q=1を証明します。q≧2とすると、pとqが互いに素でなくなり矛盾することを言えばOKです。
(4) (3)の結果から、√nが有理数になるには、nが平方数になることが必要十分条件だと分かります。ところが、平方数の間隔は最低でも3なので、n, n+1, n+2のうち2つ以上が平方数になることはありません。
<筆者の回答>
第3問(c)
図形問題です。座標設定やベクトルの知識は不要で、高校1年までの知識で解くことができます。
(1) 円と直線の絡んだ線分の長さを考えるので、初等幾何の方べきの定理を使えばOKです。
(2) こちらは、直角三角形を使うとcosAがrの式で求まるので、余弦定理で計算できます。
(3) (1)と同様にAQも方べきの定理で計算できます。これと(1)(2)の結果を使えば証明できます。
<筆者の回答>
第4問(a)
理系第4問(a)との共通問題で、(2)の方程式が具体的な数字になっています。
詳しくは理系の記事をご覧ください。
<筆者の回答>
第4問(b)
理系第4問(b)との共通問題で、理系の(4)が省略されています。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問(c)※都合により省略
