旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では大阪大学の2006年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の阪大理系数学 -2006年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
3次関数の取りうる値を調べる問題です。
f(x)を微分すると、a≦0のときはf(x)は単調増加、a>0のときはx=±√aで極値を取ることが分かります。
aの値によって場合分けして、0≦x≦1での増減を調べましょう。
<筆者の回答>
第2問
対数を交えた整数問題です。
(1) 分数の部分が1未満なので、mはlog2(6)の整数部分になります。
さらに、そのもとで式変形すると、(3/2)^(n+a) = 2となるので、0<a<1に注意すれば、
4/3 < (3/2)^n <2 が成り立ちます。(3/2)^nが単調増加なことを利用して、このようなnを探せばよいです。
(2) (1)の結果を使うと、a≦2/3だと条件式が成立しないことを言いましょう。この問題では「必要条件」であることを言えればOKだと思います。
<筆者の回答>
第3問
点の軌跡に関する問題です。
lの式を、y=m(x-1)+2と書くことができるので、P,Qの座標が求まって、Rの座標がmを使って表現できます。あとはmを消去すればRの軌跡が求まります。
<筆者の回答>
