旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東北大学の2003年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -2003年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第2問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
2次不等式の共通部分に関する問題です。
A,Bの2次不等式は幸いきれいに解くことができます。両方とも閉じた範囲になっているので、共通部分がない条件の方が考えやすくそちらを求めたほうが良いでしょう。最後にその結果を反転させればよいです。
ただし、Aはイコールあり、Bはイコールなしなので、境界部分の扱いには注意が必要です。
<筆者の回答>
第3問
図形問題と整数問題の融合問題です。
△ABCが、∠B=90°の直角三角形だと分かるので、始点をBに揃えておくと内積=0を作りやすく楽になります。
(1)BD, BE, BFをそれぞれBA, BCで表すことで、内積の条件を処理しましょう。
(2)同様にADとEFの内積を計算すると、実質m^2 -3mn + n^2が0になりうるかを考える問題になります。m,nが互いに素だとしても一般性を失わないのでそれで考えると、
m^2 -3mn + n^2 = 0と仮定すると、ｍがnの倍数となり矛盾します。
<筆者の回答>
第4問
バスの時刻表を考察する問題です。
バス停Aでのバスの発車時刻をt=0と固定して考えると見通しが良くなります。その上で待ち時間・乗車時間で場合分けしますが、時系列を描けば実質「Aの乗車時間」だけで場合分けすればよいと分かります。
12通りの所要時間はすべて同様に確からしいので、所要時間として出てきた数字の個数を数えればよいでしょう。
<筆者の回答>
