旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2001年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2001年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第2問の類題で、解き方は理系のそれと全く一緒です。
詳しくは理系の記事をご覧ください。
<筆者の回答>
第2問
理系第4問の類題ですが、平面ベクトルになっているので大分楽になっています。とはいえ、抽象度が高くとっつきにくいですが。。
ここは座標設定をうまくするとよいでしょう、v=(1,0), Pk(xk, yk)とおいても一般性を失わないので、これで議論します。
すると、問題文の内積はx1~x4の差で書けることが分かり、仮定からx1~x4は全て異なる実数になり最大値が存在することになります。
Pkを、xkが最大になるようにとってあげれば、差は全て負になります。
<筆者の回答>
第3問
整数問題です。
因数分解をすると、n^9 -n^3 = (n^3 -1)× n^3 × (n^3 +1)となるので、n^3を9で割った余りを調べてあげればよいでしょう。nを3で割った余りで場合分けして調べましょう。
<筆者の回答>
第4問
証明問題です。この年のセットの最難問だと思います。
全体の方針は、-2<a1, かつan<2が言えればよいので、これを背理法で示していきます。とはいえ、かなり試行錯誤が必要です。
an≧2を仮定したときは、-1<S-a1<1から検討し、a1≦-2を仮定したときは、-1<S-an<1から検討して矛盾を導きます。
<筆者の回答>
第5問
円が領域の内部に含まれる条件を考える問題です。
P(X,Y)とすれば、CをX,Yの式で書けて、Cの頂上と底のy座標が分かるので、それらがDに収まる条件を整理すればOKです。
<筆者の回答>
