旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の1999年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -1999年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
図形の証明問題です。
どの方法を使うかの見極めが肝要です。証明する不等式を見ると、辺の長さの2乗ばかりが登場しています。ここから、余弦定理を使いそうだと思いつければOKです。
△ABPと△ACPのそれぞれに対して余弦定理の式を作って足してあげれば証明の糸口がつかめてきます。
<筆者の回答>
第2問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第3問
整数の下2桁に関する問題です。
(1) C(nx)=C(ny)ということは、nxとnyの下2桁が同じなので、nx-nyは100の倍数になります。このときにnと100は互いに素なので、x-yが100の倍数でないといけません。
(2)は発想の難しい難問です。
(1)の結果を言い換えると、C(x)≠C(y)ならC(nx)≠C(ny)といえ、xの下2桁をb、yの下2桁をdとすると、C(nx)=C(nb), C(ny)=C(nd)が言えます。
ここまでをまとめると、「xの下2桁bとyの下2桁dが違っていれば、C(nx)とC(ny)は違う」となります。この性質から、「C(0n), C(1n),・・・C(98n), C(99n)は全部違う数字」という性質が分かります。
ここで、C(0n), C(1n),・・・C(98n), C(99n)は全部で100個ありますが、そもそも下2桁の数字が00~99の100個しかありません。ということは、C(0n), C(1n),・・・C(98n), C(99n)の中に1がないとつじつまが合わなくなってしまいます。
ということで、C(nx)=1となるxが必ず存在することが分かります。
正直(2)の前にもう一つぐらい誘導の小問が欲しい問題でした、、
<筆者の回答>
第4問
複素数の計算問題です。
(1) zが単位円周上にあることは、|z|=1と同値です。問題文の式は|z|=1と同じですね。
(2)(3)
(1)の結果を使って、wの複素共役を計算しましょう。この複素共役が元のwと等しければwが実数ということになります。
<筆者の回答>
第5問
n角柱の面の塗分けを考える、場合の数の問題です。
全体を通じてですが、題意を満たすには、底面と側面を必ず別の色に塗らないといけません。
(1) k=2の場合は、底面と側面の塗分けだけで2色使ってしまうので、側面が1色になってしまいます。
k=3の場合は、まず底面を同じ色で塗り、残り2色で側面を塗り分けます。題意を満たそうとすると、隣り合う側面を交互に別の色に塗る必要があります。側面が偶数個の場合はうまくいきますが、奇数個の場合はうまくいきません。
nが偶数の場合は、側面の塗り方が2通りあることに注意して、場合の数を計算しましょう。
(2)まず底面を違う色で塗ってしまうと、残り2色で側面を塗り分けることになりますが(1)で考えたようにnが奇数個の場合はうまく塗れません。よって、底面は同じ色Dで塗らないといけません。
そうすると、側面を残りの3色A~Cで塗り分けることになります。側面に番号を振って両端を色A、色Bに塗った場合の7つの面の塗り方を樹形図を使って考えていくとよいでしょう。あとは、A~Dの色の選び方を計算すれば、塗り方の総数を決められます。
<筆者の回答>
