旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では北海道大学の1998年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の北大理系数学 -1998年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
放物線に接する長方形に関する問題です。
図を描いてあげると、Tはx=1/2aに対して対称な形になることが分かります。よって、長方形の両端をx=1/2a±tと対称性のある式で表現できるので、Tの縦横の長さをtを使って表現しましょう。
(1) 外周はtの2次関数になるので、平方完成で考えればよいですが、aの値による場合分けが発生することに注意です。
(2) 面積はtの3次関数なので、微分でOKです。こちらは特に場合分けは発生しません。
<筆者の回答>
第2問
理系第4問と事実上共通の問題で、理系の問題ではax+by<1だったところが、b=2a+3というaだけの式になっています。
詳しくは理系の記事をご覧ください。
<筆者の回答>
第3問
整数部分に関する問題です。
まず、x/2は小数部分なので、0<x/2<1でないといけません。この下で、1/xの整数部分をm(0以上の整数）とおいて方程式を解きましょう。mの範囲に特に制限がかからないので、答えはmの式になります。
<筆者の回答>
第4問(a)
複素数平面に関する問題です。
(1)z=1+i×2t (0≦t≦1) と書けるので、z^2の実部虚部をtの式で書いてtを消去すればOKです。実部と虚部の値の範囲のチェックを忘れずに行いましょう。
(2) 図を描いてみると、CQベクトルは、CAベクトルをCを中心に±45°回転して長さを1/√2倍したものだと分かります。縮尺変化と回転を同時に表現するのに、複素数の掛け算がとても便利なので、うまく利用しましょう。せっかく複素数平面なので、複素数のメリットをしっかり享受して解きましょう。
もちろん、複素数の知識を使わず、複素数平面をxy平面と解釈して、ACを直径とする円とACの垂直2等分線との交点がQになる、と考えて解くこともできます。
<筆者の回答>
第4問(b)
空間図形の問題です。もちろんベクトルを利用して解きます。
(1)POベクトルとPQベクトルの内積を利用するとよいでしょう。
(2) OH=pOP+qOQとおいて、AH⊥OP, AH⊥OQを処理してp,qを求めればよいでしょう。
<筆者の回答>
