このシリーズでは、平成の京大文系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
原則、文系ユニークの問題のみ解きますので、理系との共通問題については理系の記事をご覧ください。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系後期数学 -2002年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
5回目の今回は2002年になります。
第1問
理系第1問と共通の問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
線形計画法と3次関数の増減の融合問題です。
Fの式は3次式で一見するとかなり複雑で手に負えないように見えます。ところが、よくよく式変形してあげるとx+yだけの3次式に綺麗にまとめられることが分かります。
ということはx+yの値の範囲が分かればよいことになり、それは直線k=x+yとDとが交点を持つkの条件を考える「線形計画法」に帰着します。
＜筆者の解答＞
第3問
理系第3問と共通の問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
複素数平面に関する問題です。
(iii)の条件から、Mnを表す複素数をβnとすると、zn+1/znと1/βnの値が等しくなることが分かります。（複素数の掛け算は、回転と縮尺変更を同時にやるんでした。今回は相似の関係から、回転角度も縮尺も同じになるので、かける複素数も同じ。という話になります）
これを使うと、znについての漸化式が立ち、一般項を求めることができます（逆数を取るとうまくいくタイプの漸化式です）。
あとは、|zn|を実際に計算して、平方完成で最大値を求めてあげればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第5問
立体の体積を求める問題です。
この手の問題は、「立体を平面で切った断面積を調べて、平面と垂直な方向に積分する」のが常套手段です。
今回の場合は、線分ABと平面z=t (0≦t≦1)との交点Rを、z軸周りに1回転してできる曲線が、立体の断面になります。
＜筆者の解答＞
