旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では九州大学の1996年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の九大理系数学 -1996年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
ベクトル方程式に関する問題です。
(1) 円のベクトル方程式は、|OP|=円の半径なので、AOをa,bで表現すること、半径を求めることの２つをクリアすればOKです。
(2) 図を使って計算できます。
(3) (1)のベクトル方程式に代入してkを求めます。Qが円周上の点なので、k=1が求まるのは当たり前の話です。
ベクトル方程式を使わずとも、余弦定理や方べきの定理といった図形の知識だけでkを計算することも可能です。
<筆者の回答>
第2問
一次変換に関する問題です。
(1) P(cosθ, sinθ)と書けるので、f(OP)を素直に計算し、内積を計算しましょう。ごくごく単純な三角関数の式になるので、最大最小を考えるのは容易いです。
(2) f(OP)がOPの定数倍になることを示せばOKです。
<筆者の回答>
第3問
絶対値付き積分に関する問題です。
(1)絶対値を外すために、f(x)の0≦x≦βでの符号を考える必要があります。それにはαの符号による場合分けを行えばよいでしょう。
(2) α=β^2のとき、α>0で確定し、かつα≦βなので、0<β≦1も確定します。そのもとで(1)の結果をβだけの式で書いて増減を調べましょう。
<筆者の回答>
第4問
経路数を数える問題です。
(1) 実際に図を描いて手で数えたほうが早いです。
(2) y≦xなので、最初のうちはx方向に進む必要があります。どのタイミングでy方向に上がるかを考えてあげればよいでしょう。
(3) (n,2)に着く直前には(n,1)か(n-1,2)のどっちかにいる必要があるので、N(n,2)がN(n,1)とN(n-1,2)の和で書けることが分かります。N(n,1)は(2)で求めてあるので、実質N(n,2)だけの漸化式になります。これを解きましょう。
<筆者の回答>
