旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東北大学の1990年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -1990年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
行列の計算問題です。
(1)ケーリーハミルトンの定理の証明問題です。A^2を直接計算してA,Eをうまく括り出してあげましょう。
(2) (1)の結果を使ってA^3+A=OをA,Eの式にしましょう。AがEの定数倍だとするとA=Oとなって不適になるので、AはEの定数倍になりません。このとき、Aの係数とEの係数は同時に0になるので、x,yが求まってしまいます。ここまでくれば題意が示せます。
<筆者の回答>
第3問
1次変換の問題です（2題連続で行列の問題ですね）。
(1) v=(x,y)とおいて、Tvを直接計算すればよいでしょう。
(2)T^nが有限集合ということは、T^k=T^lとなる異なる整数k,lが必ず存在することになります。ここに(1)を適用すれば、a^2+b^2=1が示せます。よってa=cosθ, b=sinθとおけてTが回転行列になることが分かります。
(3) 要素数が2個ということは、T^2=E, T≠Eであればよいわけです。そうなるようにθを決めてあげましょう。
<筆者の回答>
第4問
数列の問題です。
一見すると複雑なので、まずはn=1,2,3の場合に具体的にanを調べてみます。するとanの一般項が予想できるので、帰納法で証明しましょう。
<筆者の回答>
